О. Стариков

Метод ФАПЧ и принципы синтезирования высокочастотных сигналов

Система фазовой автоматической подстройки частоты, далее ФАПЧ (зарубежная аббревиатура Phase - Locked Loop, PLL), представляет собой самостоятельный узел, входящий в состав различной аппаратуры связи, систем спутникового вещания и передачи данных, а также в состав устройств, являющихся стабильными источниками сигналов.

Первая система ФАПЧ была разработана в 1930 году французским инженером Беллизом. Однако широкое применение она получила в 1960 году с появлением первых интегрированных ФАПЧ компонентов. Существовало традиционное предубеждение против ФАПЧ, связанное отчасти со сложностью реализации е╦ на дискретных компонентах, а отчасти - с сомнениями относительно над╦жности е╦ работы. Со временем, когда стали появляться высокоинтегрированные компоненты, реализующие на одном кристалле практически все необходимые (за исключением некоторых внешних элементов) узлы ФАПЧ, эта система, при правильном и корректном проектировании, стала достаточно над╦жным и заслуживающим внимания узлом.

Систему ФАПЧ можно представить как систему с отрицательной обратной связью, содержащую коэффициент усиления в прямом направлении G(s) и коэффициент обратной cвязи H(s), а также значение e(s), характеризующее разностный сигнал между входным сигналом V_i и сигналом цепи обратной связи V₀.

Передаточная функция замкнутого контура цепи ООС (рис. 1) будет иметь вид:

(1)

где, G_CL - коэффициент передачи замкнутого контура (от Gain Closed Loop).

(2)

где - комплексное число, характеризующее круговой вектор, а - круговая частота.

Рисунок 1. Стандартная модель системы отрицательной обратной связи (ООС)

Фазовый детектор PD (Phase Detector) производит сравнение двух частотных сигналов и формирует выходной сигнал, пропорциональный их фазовой разности. Этот разностный сигнал есть сигнал ошибки, который характеризует стабильность системы, и в установившемся режиме его значение стремится к нулю. Иначе говоря, система стабильна, когда значение e(s) равно нулю. Следовательно, данная система, а соответственно и система ФАПЧ, является автоматической системой регулирования или следящей системой, а мерой регулирования частоты является разность фаз входного (опорного) сигнала и сигнала цепи обратной связи.

Далее можно сделать следующий вывод: в системе ФАПЧ осуществляется интегрирование; мы измеряем фазу (разность фаз), а регулируем частоту, но фаза является интегралом от частоты.

Рассмотрим теперь стандартную базовую модель ФАПЧ (рис. 2) и входящие в е╦ состав компоненты:

• фазовый детектор PD и источник тока CP (Charge Pump);
• контурный фильтр, или фильтр нижних частот с передаточной функцией Z(s);
• генератор управляемый напряжением VCO (Voltage-Controlled Oscillator);
• делитель в цепи обратной связи с коэффициентом деления N.

Рисунок 2. Базовая модель ФАПЧ

В фазовом детекторе, как было сказано выше, происходит сравнение двух частотных сигналов и формируется выходной сигнал, пропорциональный их фазовой разности. Когда оба сигнала равны по фазе и частоте, сигнал ошибки будет равен нулю, и контур "замыкается".

Можно привести следующее уравнение, характеризующее значение сигнала ошибки e(s):

e(s) = F_ref √ (F₀/N), (3)

когда e(s) = 0,

F_ref = F₀/N, (4)

отсюда следует

F₀ = N·F_ref. (5)

Когда F₀ N·F_ref, на выходе фазового детектора формируется разностный периодический сигнал, который далее с выхода источника тока пода╦тся на фильтр нижних частот.

Этот усиленный и отфильтрованный сигнал фазовой ошибки в виде управляющего напряжения, в свою очередь, будет управлять VCO, частота которого будет увеличиваться или уменьшаться по мере необходимости на значение K_vV, где K_v - чувствительность VCO в МГц/В и V - изменение напряжения на входе VCO. Это будет продолжаться до тех пор, пока значение e(s) не станет равным нулю и контур заблокируется. Следовательно, VCO преобразует поступающее на него входное напряжение в производную фазы по времени, то есть в частоту. Таким образом, источник тока и генератор управляемый напряжением служат в качестве интегратора, который, обнаруживая сигнал ошибки, регулирует значение выходной частоты таким образом, чтобы значение этой самой ошибки свести к нулю. За сч╦т интегрирования в контуре регулирования появляется фазовый сдвиг на 90º. Таким образом интегратор, включенный в контур цепи ООС, вносит дополнительное запаздывание по фазе на 90º и на частотах, где коффициент усиления равен единице, может вызывать самовозбуждение. Одно из решений - не включать в контур регулирования компоненты, дающие дополнительное запаздывание по фазе, по крайней мере, на частотах, где коэффициент усиления близок к единице.

Чтобы несколько прояснить ситуацию, верн╦мся немного назад. Частотой VCO можно управлять, подавая на его вход соответствующее напряжение. Здесь, казалось бы, можно поступить так же, как и в любом усилителе с обратной связью - ввести контур регулирования с некоторым коэффициентом передачи, как это делается при проектировании схем на операционных усилителях. Но имеется одно важное отличие: в схемах на операционных усилителях регулируемая с помощью обратной связи величина совпадала с величиной, измеряемой с целью формирования сигнала ошибки или была хотя бы пропорциональна ей. Так, например, в усилителях напряжения измеряется выходное напряжение и соответствующим образом подстраивается входное. Несколько иная ситуация для системы ФАПЧ, так как здесь мы измеряем фазу, а регулируем частоту, то есть как было сказано выше, происходит интегрирование, за сч╦т которого появляется тот самый фазовый сдвиг. Однако необходимо заметить, что операционные усилители имеют запаздывание по фазе на 90º почти на вс╦м сво╦м частотном диапазоне, но при этом хорошо работают.

Чтобы не включать в контур элементы, вносящие дополнительное запаздывание по фазе, можно предложить и проанализировать один из вариантов построения контура регулирования, так называемый "контур первого порядка", при котором в качестве источника тока выступает операционный усилитель, но исключается из схемы фильтр низких частот. При таком построении схемы вход VCO непосредственно связан с выходом источника тока на операционном усилителе, что не позволяет сглаживать помехи и флуктуации входного сигнала, так как данная схема не обладает так называемым свойством "маховика", которое обеспечивается благодаря введению фильтрации по низкой частоте. К тому же, "контур первого порядка" не сохраняет постоянным фазовое соотношение между опорным сигналом и сигналом VCO по той самой причине, что выход источника тока непосредственно соедин╦н со входом VCO. Из всего сказанного выше можно предположить, что "контуры первого порядка" не годятся для построения контуров регулирования цепи ФАПЧ.

Следующий подход - это использование "контура второго порядка", в который вводится дополнительная фильтрация по низкой частоте. Такой контур обладает необходимым свойством "маховика", сглаживая тем самым помехи и флуктуации входного сигнала, к тому же он уменьшает полосу захвата, при попадании в которую частота VCO начинает стабилизироваться системой ФАПЧ. Существует также и полоса удержания, то есть максимальная полоса расстройки VCO, в которой замкнутый контур ФАПЧ стабилизирует частоту VCO. Ширина полос захвата и удержания зависит как раз от вида частотно-фазовой характеристики фильтра нижних частот и общего коэффициента передачи контура регулирования. В правильно спроектированной системе ФАПЧ полоса удержания больше или равна полосе захвата, система стабильна и не самовозбуждается. Здесь необходимо также отметить, что при введении фильтрации по низкой частоте несколько увеличивается и время захвата, которое характеризует скорость вхождения в захват и удержание системы ФАПЧ в режиме слежения при резком изменении частоты. Анализируя сказанное выше, можно сделать вывод, что для системы ФАПЧ подходят "контуры второго порядка", которые обеспечивают малые флуктуации фазы выходного сигнала, а также обладают некоторыми свойствами памяти или "маховика".

Полная передаточная функция для ФАПЧ может быть представлена при помощи выражения G_CL для системы отрицательной обратной связи:

(6)

Здесь вводим дополнительное понятие Forward Gain, обозначенное через G, как коэффициент, характеризующий усиление в прямом направлении, и понятие Loop Gain, обозначенное через GH, как коэффициент передачи контура.

(7)

(8)

Когда величина GH больше единицы, можно говорить, что контур замыкается, и передаточная функция для системы ФАПЧ с коэффициентом деления N имеет вид:

F_out = N x F_ref. (9)

На рис. 3 представлена зависмость выходной частоты VCO от изменения напряжения на входе.

Рисунок 3. Передаточная характеристика VCO

Прежде чем приступить к рассмотрению методов синтезирования сигналов, желательно рассмотреть некую несколько отвлеченную модель (рис. 4), показывающую процесс формирования последовательности целочисленного (Integer) потока данных.

Рисунок 4. Модель, отображающая процесс формирования потока данных

На рис. 4 обозначены:

• P_0,i - последовательность выходных данных; предполагается, что при запуске системы на выходе присутствует какое-то первоначальное фиксированное значение;
• M - делитель с постоянным коэффициентом деления;
• N - делитель с переменным коэффициентом деления;
• _i - приращение к значению последовательности выходных данных, должно быть постоянным для обеспечения стабильности системы.

При первоначальном запуске системы, то есть при i = 1 и n = 0, P₀ будет иметь какое-то фиксированное значение, которое "пройдя" через делители M и N, даст нам значение ₁. На первом шаге к значению делителя N ничего не прибавлялось, так как при i = 1 n = 0. На втором шаге, при i = 2 и n = 1, мы увеличиваем значение делителя N на n и так далее. Непременным условием является постоянное значение на всех шагах цикла. Казалось бы, вс╦ просто и понятно, но анализируя весь процесс, можно вывести следующие выражения, которые могут пригодиться в анализе работы реальных синтезаторов.

Певоначальное зачение ₁ можно получить из выражения:

(10)

Последовательность значений _i (начиная с ₂) получим из выражения:

(11)

или, несколько упростив, получим:

(12)

Выражение в скобках (_i-1)n говорит о том, что предыдущее значение стабильной системы (система стабильна при _i = const) должно быть умножено на значение n для нового шага, и n прибавляется к значению N (в знаменателе). Другими словами, для получения _i = const и тем самым обеспечения стабильности системы мы должны с каждым новым шагом увеличивать n на единицу. Справедливости ради необходимо заметить, что мы пошли от обратного, так как в реальных синтезаторах изменением значения переменного коэффициента деления мы изменяем выходную частоту таким образом, чтобы при заданных значениях M и N автоматически (после деления) получить уже заданное ранее значение .

Значение P_i можно представить как

P_i = P₀ + _i(n+1) (13)

или

P_i = P_i-1 + ₁ . (14)

Выражения (12) и (14) показывают взаимосвязь между значениями коэффициентов деления делителей M и N, первоначальным значением системы P₀, его последующем увеличением и значением приращения . Взяв какое-либо целое число в качестве P₀ и проделав несложные математические операции (задав соответственно значения делителей M и N так, чтобы деление было без остатка), по привед╦нным выше формулам (10), (12) и (14) получим значения ₁ и P₁, ₂ и P₂, ₃ и P₃ и так далее.

Литература

1. Curtin M., O▓Brien P. Phase-Locked Loops for High-Frequency Receivers and Transmitters. Part 1. Analog Dialogue - 3. 1999.
2. Horowitz P., Hill W. The Art of Electronics. Second Edition. Cambridge University Press. 1989.