Четверг, 21 ноября 2024г.

3.2. Заряд в области пространственного заряда

Одной из основных задач при анализе области пространственного заряда полупроводника является нахождение связи между электростатическим потенциалом ψ(z), с одной стороны, и величинами заряда в области пространственного заряда Q_s, избытка электронов и дырок Γ_p,n, емкости ОПЗ C_s - с другой. Нахождение этой связи основано на решении уравнения Пуассона для ОПЗ [2, 14, 21, 13, 11].

3.2.1. Уравнение Пуассона для ОПЗ

Запишем уравнение Пуассона для полупроводника p-типа:

   (3.6)

Величина ρ(z) в общем случае, когда отсутствует ограничение на малость возмущения, будет:

   (3.7)

В квазинейтральном объеме, где условие электронейтральности выполняется, ρ(z) = 0.

Тогда

   (3.8)

Поскольку, как было показано в (3.3 - 3.5),

для ρ(z) в ОПЗ имеем:

   (3.9)

Подставляя (3.9) в (3.6), имеем для нахождения ψ(z) дифференциальное уравнение:

   (3.10)

Домножим выражение для дебаевской длины экранирования, которое представлено в разделе 2.5 формулой (2.23), слева и справа на величину dψ/dz. Тогда

   (3.11)

Следовательно,

   (3.12)

Проинтегрировав (3.12) от бесконечности до некоторой точки ОПЗ, получаем:

   (3.13)

Воспользовавшись определением дебаевской длины экранирования L_D (2.23), а также соотношением E(z) = -dψ/dz, получаем:

   (3.14)

Обозначим

   (3.15)

Из (3.14) и (3.15) имеем:

   (3.16)

Соотношение (3.16) называется первым интегралом уравнения Пуассона.

Знак электрического поля выбирается в зависимости от знака поверхностного потенциала. Если ψ_s > 0 (обеднение основными носителями или инверсия), поле направлено вглубь полупроводника по оси z и положительно. При ψ_s < 0 поле E направлено против оси z и отрицательно.

Величина электрического поля на поверхности E_s будет:

   (3.17)

Поскольку согласно теореме Гаусса величина электрического поля на поверхности E_s связана определенным образом с плотностью пространственного заряда на единицу площади Q_sc, имеем:

   (3.18)

Отметим, что соотношения (3.16 - 3.18), полученные в этом разделе, являются очень важными и будут в дальнейшем неоднократно привлекаться для анализа ОПЗ.

3.2.2. Выражение для заряда в ОПЗ

Выражение (3.18) для заряда в ОПЗ, полученное в предыдущем параграфе, справедливо для любых значений поверхностного потенциала. Однако использование его для конкретных случаев довольно затруднено в силу громоздкости функции F(ψ, φ₀) в виде (3.15). Получим выражение для заряда Q_sc, упростив соотношение (3.18) для различных областей.

Область обогащения (ψ_s < 0). Для полупроводника p-типа заряд в ОПЗ Q_sc обусловлен зарядом свободных дырок Q_p, как только

   (3.19)

Область обеднения (φ₀ > ψ_s > 0). Заряд в ОПЗ Q_sc обусловлен только зарядом ионизованных акцепторов Q_B. Из (3.16, 3.18) следует, что

   (3.20)

Ширина обедненной области

Область слабой инверсии (2φ₀ > ψ_s > φ₀). Заряд в ОПЗ Q_sc, так же как и в случае обеднения, обусловлен только зарядом ионизованных акцепторов Q_B, поскольку заряд свободных электронов Q_n << Q_B.

   (3.21)

Область сильной инверсии (ψ_s > 2φ₀). Заряд в ОПЗ Q_sc обусловлен в основном зарядом свободных электронов вблизи поверхности в инверсионном канале Q_n, хотя в начале области сильной инверсии еще существен вклад заряда ионизованных акцепторов

   (3.22)

Величина заряда ионизованных акцепторов Q_B в ОПЗ и ширина слоя обеднения W не зависят от поверхностного потенциала ψ_s и равны:

   (3.23)

Отметим, что, как следует из рисунка 3.2 и выражений (3.19 - 3.22), область обогащения по многим параметрам подобна области сильной инверсии, а область обеднения - области слабой инверсии. На рисунке 3.3 приведено значение заряда в ОПЗ Q_sc как функции поверхностного потенциала ψ_s, рассчитанное для конкретного случая.

Рис. 3.3. Зависимость заряда в ОПЗ от поверхностного потенциала ψ_s, рассчитанная для кремния p-типа

3.2.3. Избыток свободных носителей заряда

Важной характеристикой ОПЗ является значение заряда свободных носителей (электронов или дырок) Q_p,n или, если выразить этот заряд в единицах элементарного заряда, величина избытка электронов или дырок Γ_p,n в ОПЗ. Определим величину Γ_p как

   (3.24)

где p(z) - концентрация дырок в ОПЗ, p₀ - концентрация дырок в квазинейтральном объеме.

Таким образом, избыток электронов или дырок - это избыточное по сравнению с равновесным в нейтральном объеме число свободных носителей на единицу площади ОПЗ. В ряде источников иногда избыток свободных носителей Γ_p,n называют поверхностной концентрацией. Это не совсем верно, ибо поверхностная концентрация по своему смыслу есть число свободных носителей заряда на единицу объема, рассчитанное на поверхности полупроводника. А избыток Γ_p,n есть избыточное число свободных носителей, проинтегрированное по глубине ОПЗ и рассчитанное на единицу площади.

Из (3.24) следует, что

   (3.25)

Аналогично избыток электронов Γ_n равен:

   (3.26)

Понятиями избытка Γ_p,n чаще пользуются, когда говорят о свободных носителях в инверсионном канале. Для случая обогащения выражения (3.25, 3.26), рассчитанные с учетом (3.15), при значениях |βψ_s| > 3 будут иметь вид:

   (3.27)    (3.28)

Для области слабой и сильной инверсии выражение для Γ_p,n можно получить в аналитическом виде из выражений для зарядов в ОПЗ, не прибегая к интегрированию (3.25, 3.26).

Действительно, заряд свободных носителей, например, электронов, в инверсионном канале Q_n равен разности полного заряда Q_sc и заряда ионизованных доноров Q_B, для которых имеются аналитические выражения:

   (3.29)

Для случая инверсии соотношение (3.18) для Q_sc упростится и будет иметь вид:

   (3.30)

Используя выражения для Q_B в виде (3.20) и (3.23), получаем соответственно для области слабой и сильной инверсии выражения для Q_n в виде:

   (3.31)    (3.32)

Для случая (3.32), используя соотношение

получаем:

   (3.33)

Здесь - емкость обедненной области.

Для случая (3.33) удовлетворительная аппроксимация существует только при β(ψ_s - 2φ₀) > 7 и имеет вид:

   (3.34)

Отметим, что выражение (3.33) совпадает с соответствующим выражением для Q_n в уравнении (3.22). Величина избытка электронов Γ_n = Q_n/q будет для области слабой и сильной инверсии при соответствующих ограничениях равна:

   (3.35)    (3.36)

Из соотношения (3.36) при значении ψ_s = 2φ₀, т.е. для начала области сильной инверсии, можно получить, что для кремния с удельным сопротивлением ρ = (1 ÷ 10) Ом·см величина избытка Γ_n(ψ_s = 2φ₀) = (10⁹ ÷ 10¹⁰) см^-2. Максимальное значение избытка Γ_n, достигаемое в ОПЗ, составляет Γ_{n max} = (1 ÷ 2) 10¹³ см^-2 и ограничивается пробоем ОПЗ полупроводника.

Из соотношений (1.42 - 1.47) следует, что избыток свободных носителей экспоненциально зависит от значения поверхностного потенциала ψ_s и слабо зависит от температуры и легирования полупроводника. На рисунках 3.4 и 3.5 приведены соответствующие графики зависимости Q_n и Γ_n от значения ψ_s.

Рис. 3.4. Зависимость заряда свободных электронов Q_n в инверсионном канале от поверхностного потенциала ψ_s, рассчитанная для кремния p-типа с различной концентрацией акцепторов

Рис. 3.5. Зависимость избытка электронов Γ_n в инверсионном канале от поверхностного потенциала ψ_s, рассчитанная для кремния p-типа при различной температуре

3.2.4. Среднее расстояние локализации свободных носителей от поверхности полупроводника

Для ряда процессов, протекающих в ОПЗ, важной характеристикой является среднее расстояние λ_c, на котором локализованы свободные носители заряда, электроны или дырки, от поверхности полупроводника. Определим величину λ_c следующим образом:

   (3.37)

где ρ(z) - плотность заряда свободных носителей в направлении, перпендикулярном поверхности.

Очевидно, что интеграл

   (3.38)

равен заряду свободных носителей в ОПЗ. Для случая обогащения поверхности основными носителями (для полупроводника p-типа - дырками) величина λ_c будет после соответствующего интегрирования равна:

   (3.39)

Отметим, что соотношение (3.39) применимо и для случая инверсии, если под λ_c понимать центроид расположения полного заряда Q_sc в ОПЗ.

Для области слабой инверсии электрическое поле E(z) в пределах инверсионного слоя постоянно и равно полю на поверхности E_s. Электростатический потенциал линейно спадает по инверсионному слою:

   (3.40)

При этом распределение концентрации n(z) по глубине инверсионного слоя будет:

   (3.41)

Тогда из (3.39) и (3.41) с учетом (3.4, 3.5) и (3.18) следует:

   (3.42)

Как следует из (3.42), в области слабой инверсии среднее расстояние λ_c свободных носителей заряда слабо зависит от поверхностного потенциала ψ_s, а следовательно, и от избытка свободных носителей в канале. Зависимость λ_c от температуры T близка к линейной.

Для области очень сильной инверсии, когда Q_n >> Q_B, выражение для центроида электронов в инверсионном канале дается соотношением (3.39). В промежуточной области значений поверхностного потенциала среднее расстояние λ_c необходимо рассчитывать, пользуясь численными методами, по уравнению (3.37).

На рисунке 3.6 приведен результат такого численного расчета. Обращает на себя внимание тот факт, что значения центроида λ_c лежат в пределах (20 ÷ 300) A в реально достижимых случаях как для случая обогащения, так и инверсии. Особой точкой является значение потенциала плоских зон ψ_s = 0, где значение λ_c равняется дебаевской длине экранирования, достигающей десятых долей микрона.

Рис. 3.6. Рассчитанное численно среднее расстояние локализации электронов λ_c в ОПЗ в зависимости от избытка электронов Γ_n при разных температурах. Пунктирная линия соответствует самосогласованному квантовому расчету Стерна для многих уровней при T = 300 К для кремния p-типа [2, 21]

3.2.5. Форма потенциального барьера на поверхности полупроводника

При решении уравнения Пуассона в разделе 3.2.1 нами был получен первый интеграл в виде (3.16). Для нахождения формы потенциального барьера, т.е. зависимости электростатического потенциала ψ(z), необходимо проинтегрировать соотношение (3.16) и получить второй интеграл уравнения Пуассона:

   (3.43)

В общем виде уравнение (3.43) решить и найти аналитическое выражение ψ(z) не удается. Рассмотрим частные случаи.

1. Собственный полупроводник: p = n = n_i; φ₀ = 0

Из (3.15) следует, что величина F(ψ, φ₀) для собственного полупроводника

   (3.44)

Подставляя (3.44) в (3.43), имеем:

   (3.45)

Легко убедиться, что решение (3.45) будет в виде:

   (3.46)

или

   (3.47)

Из (3.47) трудно наглядно представить форму потенциального барьера. Расчет показывает быстрый спад ψ(z) вблизи поверхности и относительно медленное убывание при больших величинах z.

2. Обеднение и слабая инверсия в примесном полупроводнике

Для этой области, как следует из (3.15), функция F(ψ, φ₀) имеет совсем простой вид. Второй интеграл уравнения Пуассона при этом будет равен:

   (3.48)

Используя граничное условие, что при z = W, т.е. ширине ОПЗ в обеднении и слабой инверсии потенциала ψ = 0, получаем непосредственным интегрированием:

   (3.49)

Таким образом, из (3.49) следует, что потенциал ψ в ОПЗ в случае обеднения и слабой инверсии квадратично спадает по глубине ОПЗ. Поскольку толщина инверсионного слоя много меньше ширины обедненной области, то в первом приближении

   (3.50)

Потенциал ψ в области слабой инверсии спадает по толщине инверсионного слоя по линейному закону, поэтому говорят о треугольной потенциальной яме на поверхности.

3. Область обогащения и очень сильной инверсии в примесном полупроводнике

Будем рассматривать область изменения поверхностного потенциала ψ_s, когда для зарядов в ОПЗ справедливы соотношения (3.19) и (3.22). Получим форму потенциального барьера ψ(z) для случая инверсии, а для случая обогащения вид будет аналогичный.

Из (3.44) и (3.15) следует, что при βψ > 7

   (3.51)

Непосредственное интегрирование (3.51) приводит к зависимости:

   (3.52)

Для случая обогащения аналогично получаем:

   (3.53)

Потенциал ψ(z) в этой области меняется по логарифмическому закону, в таком случае говорят о логарифмической яме на поверхности полупроводника.

Copyright 1997-2024 CHIPINFO

Реклама на сайте >>

Обратная связь >>

Наши сайты:  Приборы   Блог   Справочник   Новости   Форум   Datasheets   News